Propriétés de Steinitz sur les Modules Libres

Un focus sur les anneaux faiblement semi-Steinitz

Le résultat suivant est bien connu en algèbre linéaire (Théorème de la base incomplète): toute famille libre (finie) d'un espace vectoriel peut être complétée en une base.

Nashier et Nichols (1991) appellent un anneau A faiblemet semi-Steinitz à gauche si tout système linéairement Indépendant fini, d'un A-module à gauche libre (de type fini) F, peut être augmenté en une base de F.

La plus grande partie de ce travail est consacrée à l'étude de ces anneaux dans le cas commutatif.

En effet , Nous avons pu améliorer la caractérisation faite par Nashier et Nichols.

Le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels peut s'exprimer ainsi: toutes les familles libres maximales d'un espace vectoriel ont même cardinal.

Soit A un anneau commutatif.

Suivant M.

Lazarus; un A-module M vérifie la propriété (P) si toutes les familles libres maximales de M ont même cardinal.

Nous avons pu caractérisé les anneaux sur lesquels tout module libre vérifie la propriété (P) en utilisant les anneaux faiblement semi-Steinitz.

En combinant nos résultats et des résultats de C.

Faith, nous avons pu fournir de nouveaux exemples de tels annaux: les sous-anneaux d'un anneau noethérien, etc.