Sur les cohomologies de la formalité et les graphes de Kontsevich

Cohomologies des graphes de Kontsevich

Depuis l'article fondateur de Kontsevich, on sait qu'il existe une L∞ formalité pour chaque variété M qui donne une quantification par déformation pour toute structure de Poisson sur M.

Dans le cas de R^d, Kontsevich construit une L∞ formalité explicite à l'aide des graphes dits graphes de Kontsevich.

Cette thèse développe le calcul de la cohomologie de Chevalley sur ces graphes et précisément des graphes vectoriels et linéaires, à savoir que cette cohomologie est donnée par des graphes à roues de longueur impaire, on retrouve les cocycles fondamentaux de Fuchs et de DeWilde-Lecomte.

La cohomologie de Chevalley-Harrison des algèbres de Gerstenhaber est relevant de la structure de G∞ formalité introduite par Tamarkin.

On montre que, bien que cette cohomologie est triviale pour l'algèbre T_poly(R^d), le cocycle fondamental de Fuchs survit pour la cohomologie de Chevalley-Harrison à valeurs dans R de l'algèbre de Gerstenhaber T_poly^hom(R^d) formée par des k-tenseurs à coefficients polynomiaux homogènes de degré k.

Enfin, on étudie la structure des (a, b)-algèbres qui généralise celle des algèbres de Gerstenhaber et de Poisson graduées et on donne l'algèbre à homotopie près associée.